Большая часть спора идет о полном vs частичном порядке. То есть, обсуждается, верно ли, что из возможности выбрать лучшую альтернативу следует сравнимость любых двух альтернатив. В то время как, в условиях неопределенности, исчезает даже транзитивность, то есть может быть так, что А предпочтительнее Б, Б предпочтительнее В, но В предпочтительнее А. Мне как раз пришел в голову простенький пример Идея в том, что если отношение на случайных величинах A И B определяется через вероятность порядка их реализаций a и b:
"A ] B" если P(a>b) > 0.5
то такое отношение не транзитивно. Может быть так, что А ] B, B ] C, C ] A. Тогда если
- для A, B, и С сделать игральные кости,
- целью агента является максимизировать вероятность выигрыша в игре, где $1 платится тому, у кого выпало большее число,
- выбрать ему надо одну из двух костей,
- вторая кость отдается противнику
то из нетранзитивности "]" на случайных величинах следует нетранзитивность выбора на костях.
Пример костей, если кому интересно: "честные" кубики с вероятностью 1/6 для каждой грани и разметкой граней:
A: 18,10,9,8,7,5
B: 17,16,15,4,3,2
C: 14,13,12,11,6,1
Говорят, ;) что a>b, b>c, c>a с одинаковой вероятностью 21/36. Забавно, что для случайных величин этотпример был подробно разобран в статье Usiskin все в том же 1964 году (Annals of Statistics, 35, 857-862, 1964).
Ссылочки по теме:
http://cepa.newschool.edu/het/essays/uncert/alternative.htm
http://www.nottingham.ac.uk/economics/research/dp/school_dp/dp.98.17.pdf
http://ideas.repec.org/a/spr/sochwe/v18y2001i2p251-267.html
